二维 Possion 方程五点差分格式的 MATLAB 编程实现。
二维 Possion 方程
考虑二维 Possion 方程:
其中 $\partial \Omega$ 为区域 $\Omega$ 的边界,$f(x,y)$ 和 $\phi(x)$ 为已知函数,$u|_{\partial \Omega}=\phi(x,y)$ 为边界条件。
在偏微分方程的数值解法中,有限差分法数学概念直观,推导自然,是发展较早且比较成熟的数值方法。由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算,所以任何一种用计算机解题的方法,都必须把连续问题(微分方程的边值问題、初值问题等)离散化,最终化成有限形式的线性代数方程组。
学习有限差分方法,差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性等理论知识请参考书籍《微分方程数值解法》(李荣华)。
这里重点介绍问题差分格式的 MATLAB 编程实现。
本文继续推荐软件,包括 Typora、CCleaner、IDM、Adobe Acrobat Pro DC、PotPlayer、foobar2000。
Typora 界面只有菜单栏若干几个选项和一个空白的输入区域,但这个简约的软件所支持的功能特别多。
Ctrl + /
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本文是书籍 Spectral Method in MATLAB 第二章 Unbounded Grids: the Semidiscrete Fourier Transform 无界网格:半离散 Fourier 变换 笔记。
我们现在导出第一个谱方法,就是第一章的两边无限的矩阵。这种方法适用于离散的、无界的区域,因此不是一种实用的方法。但是,它确实介绍了推导和分析实用方法所需的数学思想。
无限网格用 $h \mathbb{Z}$表示,节点 $x_j=jh$,其中 $j \in \mathbb{Z}$ ,$\mathbb{Z}$ 是所有整数的集合。
根据半离散傅里叶变换和有限带宽 $sinc$ 函数插值的基本思想去推导 (1.4) 两边无限的矩阵。函数 $u(x)$ ($x \in \mathbb{R}$) 的 Fourier 变换后的函数 $\hat{u}(k)$ 定义为