Andy123t

一维热传导方程差分方法的 MATLAB 编程实现。

一维热传导方程

$$\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+f(x, t), && 0<x<1,\ 0<t \leqslant T,\\ & u(x, 0)=\phi(x), && 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ & u(0, t)=\alpha(t), u(1, t)=\beta(t), && 0 < t \leqslant T. \end{aligned}\right.$$

其中 是正常数，、、 和 为已知函数。 为初始条件， 和 为边界条件。

二维 Possion 方程五点差分格式的 MATLAB 编程实现。

二维 Possion 方程

考虑二维 Possion 方程:

$$\left\{ \begin{aligned} &-\Delta u=f(x,y),\quad (x,y)\in \Omega, \\ &u|_{\partial \Omega}=\phi(x,y),\quad (x, y) \in \partial \Omega , \end{aligned}\right.$$

其中 为区域 的边界， 和 为已知函数， 为边界条件。

在偏微分方程的数值解法中，有限差分法数学概念直观，推导自然，是发展较早且比较成熟的数值方法。由于计算机只能存储有限个数据和做有限次运算，所以任何一种用计算机解题的方法，都必须把连续问题（微分方程的边值问題、初值问题等）离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。

学习有限差分方法，差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性等理论知识请参考书籍《微分方程数值解法》（李荣华）。

这里重点介绍问题差分格式的 MATLAB 编程实现。

本文继续推荐软件，包括 Typora、CCleaner、IDM、Adobe Acrobat Pro DC、PotPlayer、foobar2000。

Markdown 编辑器：Typora

Typora 界面只有菜单栏若干几个选项和一个空白的输入区域，但这个简约的软件所支持的功能特别多。

• 支持实时预览 Markdown 格式效果，同时还保留了「源代码模式」，快捷键 Ctrl + / 随时切换源码与预览（它的 Markdown 输入手感真是一流！）；
• 配合 Pandoc 你可以轻松地将文件导出为 PDF、HTML、Word、移动端长图，以及许多学术相关的文件格式；
• 支持 LaTeX 等公式符号、表格、代码、图片外链。基本你能想到的文稿内容它都支持并可以实时预览。

本文介绍一些 Windows 上比较好用的软件。一个好的软件不仅可以解决某一方面的问题，还可以提高工作的效率。我用软件的原则是：在经济允许的前提下（免费最好），尽量使用每个方面最好用的软件。

推荐软件：火绒安全、Snipaste、Notepad++、Everything、GifCam、Bandicam、Quicklook、Bandizip。

辅助防病毒：火绒安全

不要安装 360、管家、毒霸等，即使 Win10 系统自带的 Windows Defender 也够用了。火绒安全一个轻量级的杀毒软件，日常使用杀毒绰绰有余，无广告弹窗，病毒库更新快，不拖慢电脑进程，比较省心的杀毒软件。火绒安全还自带了很多工具，可以有选择地添加其他工具，比如弹窗拦截、文件粉碎。

本文用 Gauss 2 级 4 阶方法（属于隐式 Runge-Kutta 法）求解ODE，需要用到方程组的牛顿迭代，然后用 MATLAB 编程，最后输出结果的误差阶为 4。

Runge-Kutta 方法

对于常微分方程

$$y^{\prime}=f(x, y), \quad y(a)=\eta, \quad f : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{m}.$$

一般 s 级 Runge-Kutta 方法：

$$(\rm I)\left\{\begin{aligned} &y_{n+1}=y_{n}+h \sum_{i=1}^{s} b_{i} k_{i}, \\ &k_{i}=f(x_{n}+c_{i} h, y_{n}+h \sum_{j=1}^{s} a_{i j} k_{j}), \quad i=1,2, \ldots, s. \end{aligned}\right.$$

本文用后退 Euler 方法求解非线性 ODE，需要用到牛顿迭代，然后用 MATLAB 编程，最后展示了输出结果。

后退 Euler 方法

$$u_{n+1}=u_{n}+hf(t_{n+1},u_{n+1}).$$

线性 ODE 例子（做对比）

$$\left\{\begin{aligned} &\frac{du}{dt}=t^2+t-u ,\quad 0 < t \leqslant 1, \\ &u(0)=0. \end{aligned} \right.$$

用后退 Euler (隐式 Euler) 格式离散

$$u_{n+1}=u_n+h(t_{n+1}^2+t_{n+1}-u_{n+1}).$$ $$u_{n+1}=\frac{1}{1+h}(u_n+ht_{n+1}^2+ht_{n+1}).$$

显格式比较容易编程。

本文介绍如何计算经典四阶 Runge-Kutta 数值解及其收敛阶，并用 MATLAB 编程，最后展示了输出结果。

经典四阶 Runge-Kutta 方法

$$\left\{ \begin{aligned} &u_{n+1}=u_{n}+\frac{h}{6}\left(k_{1}+2 k_{2}+2 k_{3}+k_{4}\right), \\ &k_{1} =f\left(t_{n}, u_{n}\right), \\ &k_{2} =f\left(t_{n}+\frac{h}{2}, u_{n}+\frac{h}{2}k_{1}\right), \\ &k_{3} =f\left(t_{n}+\frac{h}{2}, u_{n}+\frac{h}{2}k_{2}\right), \\ &k_{4} =f\left(t_{n}+h, u_{n}+hk_{3}\right). \end{aligned} \right.$$

本文介绍如何计算数值方法的收敛阶。以 Euler 方法、梯形公式、改进 Euler 方法为例，并用 MATLAB 编程，最后展示了输出结果。

误差阶

数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程转化为差分方程，如单步法

$$u_{n+1}=u_{n}+h \varphi(x_{n}, u_{n}, h).$$

它在 处的数值解为 ，而初值问题在 处的精确解为 ，记 称为整体截断误差。收敛性就是讨论当 固定且 时 的问题。

本文列举了简单的数值方法：Euler 方法、后退 Euler 方法、梯形公式、改进 Euler 方法，并用 MATLAB 求解线性 ODE，最后展示了输出结果。

常微分方程初值问题

考虑 常微分方程初值问题，设 在区域 : , 上连续，求 满足：

$$\left\{\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=f(t,u),\quad 0 < t \leqslant T, \\ &u(0)=0. \end{aligned} \right.$$

通常 满足 Lipschitz 条件： .