本文介绍半群方法,它把抛物型方程解的正则性完全归结为椭圆型方程的正则性。半群方法是目前处理发展方程的标准方法。
引入半群
考虑热方程
分离变量方法:用 Fourier 级数表示方程的解
并且满足 Parseval 等式:
这里
以上不等式右端是依赖于时间
希望解能有这样的形式:
对于这个例子
1、
(i)
当
(ii)
这里可令
(iii)
由于发展方程的时间
(iv) 若
可知
2、无穷小生成元
定义无穷小生成元
这里
定义域
算子半群的一些引理
引理 1: 对
另外,对任意的
证明:对
当
于是对
因为
两边关于
于是
可得
根据
我们可以求解开始提出的热方程。
注:
引理 2:
闭算子定义:若
由已知的结果
两边同时除以
令
事实上,上式利用了
所以
注:
引理 3:
并且
证明:下面多次用到
对
于是
当
记
所以
参考书籍
- 视频:发展方程中的算子半群
- 郑宋穆,Nonlinear Parabolic Equations and Hyperbolic-Parabolic Coupled Systems