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算子的连续半群

本文介绍半群方法,它把抛物型方程解的正则性完全归结为椭圆型方程的正则性。半群方法是目前处理发展方程的标准方法。

引入半群

考虑热方程

分离变量方法:用 Fourier 级数表示方程的解

并且满足 Parseval 等式:

这里

以上不等式右端是依赖于时间 的,所以解不会爆破 (Blow up),说明解是有意义的。

希望解能有这样的形式:

对于这个例子

关于 是线性的

1、 的性质 (必要条件)

(i) .

时,,所以 为恒等映射。

(ii) .

这里可令 进行计算

(iii) . 这里的范数是关于时间 的.

由于发展方程的时间 ,所以 ,于是

(iv) 若 ,有

可知 是依赖于时间的,关于时间是连续的。

2、无穷小生成元

在 Banach 空间 上,并且 .

中的元素为满足 .

定义无穷小生成元

这里 .

定义域 的无穷小生成元,即 是这个强压缩算子半群的无穷小生成元。

算子半群的一些引理

引理 1:, 有 .

另外,对任意的 ,有

证明:对

于是对 ,有 .

因为

两边关于 进行积分

于是

可得

根据 式可得

我们可以求解开始提出的热方程。

注:

引理 2: 是闭算子。

闭算子定义:若 , as ,则 , s.t. . 接下来要证明它。

由已知的结果

两边同时除以

,有

事实上,上式利用了 的定义

所以 .

注:

引理 3: 中稠密,对

并且

证明:下面多次用到 .

,有

于是

, 上式的极限为 .

,有

所以 , 即

参考书籍