迎风格式

对单波方程构造差分格式：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0, ~~ x_{L} \leqslant x \leqslant x_{R},~t\geqslant 0.$$

“迎风格式” 就是在构造差分格式的时候, 尽可能多地利用上游传来的信息, 这种格式更加稳定。

迎风格式

网格剖分中, $h$ 为空间方向步长, $\tau$ 为时间方向步长. 根据 $a$ 的取值进行讨论：

1、当 $a>0$ 时, 波动的传播方向从 $x_{L}$ 到 $x_{R}$,

对应的迎风格式：

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\tau}+a \frac{u_{j}^{n}-u_{j-1}^{n}}{h}=0,$$

令 $r=\frac{a\tau}{h}$, 于是

$$u_{j}^{n+1}=r u_{j-1}^{n}+(1-r) u_{j}^{n}.$$

当 $|\frac{a\tau}{h}|\leqslant 1$ 时, 格式稳定.

2、当 $a<0$, 波动的传播方向从 $x_{R}$ 到 $x_{L}$,

对应的迎风格式：

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\tau}+a \frac{u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}}{h}=0,$$

于是

$$u_{j}^{n+1}=(1+r) u_{j}^{n}-r u_{j+1}^{n}.$$

当 $|\frac{a\tau}{h}|\leqslant 1$ 时, 格式稳定.

3、无论 $a$ 取何值, 中心差分格式

$$\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\tau}+a \frac{u_{j+1}^{n}-u_{j-1}^{n}}{2 h}=0$$

都是不稳定的, 不能用于数值计算.

迎风格式的构建

用 Taylor 展开构建迎风格式：

用 $j-1$, $j$ 两点

$$(\frac{\partial u}{\partial x})_{j}=\frac{u_{j}-u_{j-1}}{\Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x).$$

此为一阶迎风格式.

用 $j-1$, $j$, $j+1$ 三点

$$(\frac{\partial u}{\partial x})_{j}=\frac{3u_{j+1}-4u_{j}+u_{j-1}}{2\Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x^2).$$

此为二阶迎风格式.

通用格式

对于这样的方程形式：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0.$$

不知道波的传播方向, 采用矢量分裂的方法将该波分为两种波：

$$f(u)=f^{+}(u)+f^{-}(u).$$

一条从左向右传播，另一条从右向左传播。在构造差分的过程中对它们分别进行差分：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f^{+}}{\partial x}+\frac{\partial f^{-}}{\partial x}=0.$$