先验误差和后验误差的区别

在数值分析中，先验误差和后验误差的区别是什么？

误差估计通常有以下形式：

$$\left\|u-u_{h}\right\| \leq C(h),$$

其中 是方程的精确解， 是计算出的近似解， 是可控制的参数， 是 的某个函数。

在有限元方法中， 是偏微分方程的解， 是网格大小为 的有限元解，但是在反问题中 (用正则化参数 代替 ) 或者用迭代方法来解方程或者优化问题 (用迭代指数 — 或者更确切地说 代替 )，它们具有相同的结构。这样估算的目的是帮助回答这样一个问题： “如果我们想要在逼近解的误差不超过 ，我必须选择多小的 ？”

先验估计和后验估计之间的差异取决于右端项的 的表达式：

在先验估计中，右端取决于 (通常是显式的) 和 ，但不取决于 。例如 Possion 方程 的有限元逼近的典型先验估计有这样的具体形式

$$\left\|u-u_{h}\right\|_{L^{2}} \leq c h^{2}|u|_{H^{2}},$$

其中常数 取决于区域和网格的几何形状。原则上，可以在计算 之前对右端项进行求值 (因此得名)，因此可以在解决问题之前选择 。实际上， 或 都不知道 ( 是首先要求解的)，但是可以通过推导证明得到 的阶或量级估计，通过 (已知) 得到 估计。它的主要用途是做定性估计 — 如果你想使误差减小四倍，你需要把 减半。

在后验估计中，右端项取决于 和 ，但不取决于 。一个基于残差的 Possion 方程的后验估计将是

$$\left\|u-u_{h}\right\|_{L^{2}} \leq c h\left\|f+\Delta u_{h}\right\|_{H^{-1}},$$

理论上可以在计算 后进行评估。在实践中， 范数的计算是有问题的，需要进一步操作右端项以获得单元的界

$\left\|u-u_{h}\right\|_{L^{2}} \leq c\left(\sum_{K} h_{K}^{2}\left\|f+\Delta u_{h}\right\|_{L^{2}(K)}+\sum_{F} h_{K}^{3 / 2}\left\|j\left(\nabla u_{h}\right)\right\|_{L^{2}(F)}\right),$ 其中第一个求和在三角剖分的单元 上， 是单元 的大小，第二个求和在所有单元边界 上， 表示 的一般导数在 上的跳跃。除常数 外，通过得到的 可以完全计算该值。同样，这个估计主要是定性的 — 它告诉你哪些元素比其他元素产生更大的误差，因此，不必均匀地减少 ，只需选择一些误差较大的元素，通过细分它们使其更小。这是自适应有限元方法的基础。

参考：What are differences between a priori and posteriori error estimate in numerical analysis?