在数值分析中，先验误差和后验误差的区别是什么？
误差估计通常有以下形式：
其中 $u$ 是方程的精确解，$u_h$ 是计算出的近似解，$h$ 是可控制的参数，$C(h)$ 是 $h$ 的某个函数。
在有限元方法中，$u$ 是偏微分方程的解，$u_h$ 是网格大小为 $h$ 的有限元解，但是在反问题中 (用正则化参数 $\alpha$ 代替 $h$) 或者用迭代方法来解方程或者优化问题 (用迭代指数 $k$ — 或者更确切地说 $1/k$ 代替 $h$)，它们具有相同的结构。这样估算的目的是帮助回答这样一个问题： “如果我们想要在逼近解的误差不超过 $10^{-3}$，我必须选择多小的 $h$ ？”
先验估计和后验估计之间的差异取决于右端项的 $C(h)$ 的表达式：
$\bullet~$ 在先验估计中，右端取决于 $h$ (通常是显式的) 和 $u$，但不取决于 $u_h$。例如 Possion 方程 $-\Delta u=f$ 的有限元逼近的典型先验估计有这样的具体形式
其中常数 $c$ 取决于区域和网格的几何形状。原则上，可以在计算 $u_h$ 之前对右端项进行求值 (因此得名)，因此可以在解决问题之前选择 $h$。实际上，$c$ 或 $|u|_{H^{2}}$ 都不知道 ($u$ 是首先要求解的)，但是可以通过推导证明得到 $c$ 的阶或量级估计，通过 $f$ (已知) 得到 $|u|$ 估计。它的主要用途是做定性估计 — 如果你想使误差减小四倍，你需要把 $h$ 减半。
$\bullet~$ 在后验估计中，右端项取决于 $h$ 和 $u_h$，但不取决于 $u$。一个基于残差的 Possion 方程的后验估计将是
理论上可以在计算 $u_h$ 后进行评估。在实践中，$H^{-1}$ 范数的计算是有问题的，需要进一步操作右端项以获得单元的界
其中第一个求和在三角剖分的单元 $K$ 上，$h_K$ 是单元 $K$ 的大小，第二个求和在所有单元边界 $F$ 上，$j(\nabla u_{h})$ 表示 $u_h$ 的一般导数在 $F$ 上的跳跃。除常数 $c$ 外，通过得到的 $u_h$ 可以完全计算该值。同样，这个估计主要是定性的 — 它告诉你哪些元素比其他元素产生更大的误差，因此，不必均匀地减少 $h$，只需选择一些误差较大的元素，通过细分它们使其更小。这是自适应有限元方法的基础。
参考：What are differences between a priori and posteriori error estimate in numerical analysis?