谱方法与谱配置法

两点边值问题

考虑二阶微分方程边值问题：

$$\begin{aligned} & \mathbf{L} u=-u^{\prime \prime}(x)+p(x) u^{\prime}(x)+q(x) u(x)=f(x), \quad x \in (-1,1), \\ &B_{\pm} u(\pm 1)=g_{\pm}. \end{aligned}$$

考虑齐次 Dirichlet 边界条件，非齐次边界条件可以通过考虑 $v=u-\tilde{u}$ 来处理，其中 $\tilde{u}$ 是满足非齐次边界条件的“简单”函数。

Spectral-Galerkin 方法

定义有限维逼近空间：

$$X_{N}=\left\{\phi \in P_{N}: B_{\pm} \phi(\pm 1)=0\right\} \ \Rightarrow \ \operatorname{dim}\left(X_{N}\right)=N-1.$$

设 $\{\phi_{k}\}_{k=0}^{N-2}$ 是 $X_{N}$ 的一组基函数，我们将逼近解展开为

$$u_{N}(x)=\sum_{k=0}^{N-2} \hat{u}_{k} \phi_{k}(x) \in X_{N}.$$

展开式系数 $\left\{\hat{u}_{k}\right\}_{k=0}^{N-2}$ 由以下方程唯一确定。

$$\int_{-1}^{1}\left(\mathbf{L} u_{N}(x)-f(x)\right) \phi_{j}(x) \omega(x) d x=0, \quad 0 \leq j \leq N-2,$$

等价于 (谱格式)：

$$\left\{\begin{aligned} &\text{Find } u \in X_{N} \text{ such that} \\ &\left(\mathbf{L} u_{N}, v_{N}\right)_{\omega}=\left(f, v_{N}\right)_{\omega}, \quad \forall v_{N} \in X_{N}. \end{aligned} \right.$$

其中 $(\cdot, \cdot)_{\omega}$ 是 $L_{\omega}^{2}(-1,1)$ 的内积。设

$$\boldsymbol{u}=\left(\hat{u}_{0}, \hat{u}_{1}, \ldots, \hat{u}_{N-2}\right)^{\mathrm{T}}; \quad f_{j}=\left(f,\phi_{j}\right)_{\omega}, \quad \boldsymbol{f}=\left(f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{N-2}\right)^{\mathrm{T}},$$ $$s_{j k}=\left(\mathbf{L} \phi_{k}, \phi_{j}\right)_{\omega}, \quad S=\left(s_{j k}\right)_{j, k=0, \cdots, N-2},$$

可得

$$S \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}.$$

因此，选择合适的基函数 $\{\phi_{j}\}$ 使得：

• 可以有效地计算右端项 $(f, \phi_{j})_{\omega}$.
• 有效求解线性系统 $S \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}$.

其核心思想是利用正交多项式或正交函数的组合构造基函数。由于 $x \in (-1,1)$ 可以选择 Legendre，Chebyshev 等多项式作为基函数。

Spectral-Collocation 方法

配置方法使残差在一组预先设定的点上趋近于零。设 $\{x_{j}\}_{j=0}^{N}$ ($x_{0}=-1$, $x_N=1$) 是一组 Gauss-Lobatto 点，设 $P_N$ 为最高次数为 $N$ 的实数代数多项式的集合。原方程的谱配置法是找 $u_{N} \in P_{N}$ 使得

$$\mathbf{R}_{N}\left(x_{k}\right)=\mathbf{L} u_{N}\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)=0, \quad 1 \leq k \leq N-1,$$

而且 $u_{N}$ 要精确满足边界条件

$$B_{-} u_{N}(x_{0})=g_{-}, \quad B_{+} u_{N}(x_{N})=g_{+}$$

逼近解展开

$$u_{N}(x)=\sum_{j=0}^{N} u_{N}\left(x_{j}\right) h_{j}(x).$$

其中 $h_j$ 是 Lagrange 基多项式（也称为节点基函数），即 $h_{j} \in P_{N}$，$h_{j}(x_{k})=\delta_{k j}$，将 $u_{N}(x)$ 的展开式代入上面两个式子可得

$$\sum_{j=0}^{N}\left[\mathbf{L} h_{j}\left(x_{k}\right)\right] u_{N}\left(x_{j}\right)=f\left(x_{k}\right), \quad 1 \leq k \leq N-1,$$ $$\sum_{j=0}^{N}\left[B_{-} h_{j}\left(x_{0}\right)\right] u_{N}\left(x_{j}\right)=g_{-}, \quad \sum_{j=0}^{N}\left[B_{+} h_{j}\left(x_{N}\right)\right] u_{N}\left(x_{j}\right)=g_{+}.$$

上述系统包含 $n+1$方程和 $n+1$ 个未知数，因此我们可以用矩阵形式重写它。下面考虑 Dirichlet 边界条件 $u(\pm 1)=g_{\pm}$，这里设置 $u_{N}\left(x_{0}\right)=g_{-}$, $u_{N}\left(x_{N}\right)=g_{+}$，可以推出 (\label{equcm})

$$\sum_{j=1}^{N-1}\left[\mathbf{L} h_{j}\left(x_{k}\right)\right] u_{N}\left(x_{j}\right)=f\left(x_{k}\right)-\left\{\left[\mathbf{L} h_{0}\left(x_{k}\right)\right] g_{-}+\left[\mathbf{L} h_{N}\left(x_{k}\right)\right] g_{+}\right\},\ 1 \leq k \leq N-1.$$

对 $u_{N}(x)$ 进行 $m$ 次微分

$$u_{N}^{(m)}\left(x_{k}\right)=\sum_{j=0}^{N} d_{k j}^{(m)} u_{N}\left(x_{j}\right),\quad d_{k j}^{(m)}=h_{j}^{(m)}\left(x_{k}\right),$$

矩阵 $D^{(m)}=\left(d_{k j}^{(m)}\right)_{k, j=0, \dots, N}$ 称为关于节点 $\left\{x_{j}\right\}_{j=0}^{N}$ 的 $m$ 次微分矩阵。用 $\boldsymbol{u}^{(m)}$ 表示一个向量，其元素是配置点处的 $u_{N}^{(m)}$ 的值，上式可写为

$$\boldsymbol{u}^{(m)}=D^{(m)} \boldsymbol{u}^{(0)}, \quad m \geq 1.$$

因此

$$\mathbf{L} h_{j}\left(x_{k}\right)=-d_{k j}^{(2)}+p\left(x_{k}\right) d_{k j}^{(1)}+q\left(x_{k}\right) \delta_{k j}.$$

令 $\boldsymbol{f}$ 表示方程 (equcm) 右端 $N-1$ 个元素的向量。设

$$\widetilde{D}_{m}=\left(d_{k j}^{(m)}\right)_{k, j=1, \ldots, N-1}, \quad m=1,2,$$ $$P=\operatorname{diag}\left(p\left(x_{1}\right), \ldots, p\left(x_{N-1}\right)\right),$$ $$Q=\operatorname{diag}\left(q\left(x_{1}\right), \ldots, q\left(x_{N-1}\right)\right).$$

方程 (equcm) 可以简化为

$$(-\widetilde{D}_{2}+P \widetilde{D}_{1}+Q) \boldsymbol{u}^{(0)}=\boldsymbol{f}.$$

参考书籍

• Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications.