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谱方法与谱配置法

两点边值问题

考虑二阶微分方程边值问题:

考虑齐次 Dirichlet 边界条件,非齐次边界条件可以通过考虑 来处理,其中 是满足非齐次边界条件的“简单”函数。

Spectral-Galerkin 方法

定义有限维逼近空间:

的一组基函数,我们将逼近解展开为

展开式系数 由以下方程唯一确定。

等价于 (谱格式):

其中 的内积。设

可得

因此,选择合适的基函数 使得:

  • 可以有效地计算右端项 .
  • 有效求解线性系统 .

其核心思想是利用正交多项式或正交函数的组合构造基函数。由于 可以选择 Legendre,Chebyshev 等多项式作为基函数。

Spectral-Collocation 方法

配置方法使残差在一组预先设定的点上趋近于零。设 (, ) 是一组 Gauss-Lobatto 点,设 为最高次数为 的实数代数多项式的集合。原方程的谱配置法是找 使得

而且 要精确满足边界条件

逼近解展开

其中 是 Lagrange 基多项式(也称为节点基函数),即 ,将 的展开式代入上面两个式子可得

上述系统包含 方程和 个未知数,因此我们可以用矩阵形式重写它。下面考虑 Dirichlet 边界条件 ,这里设置 , ,可以推出 (\label{equcm})

进行 次微分

矩阵 称为关于节点 次微分矩阵。用 表示一个向量,其元素是配置点处的 的值,上式可写为

因此

表示方程 (equcm) 右端 个元素的向量。设

方程 (equcm) 可以简化为

参考书籍

  • Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications.