谱方法简介
谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法。早在 1820 年, Navier 就运用双重三角级数求解弹性薄板问题。 但是，长期以来，由于它计算量大而一直没有被广泛使用，直到 1965 年快速 Fourier 变换的出现，才给谱方法带来了生机。 近几十多年来，谱方法得到了蓬勃的发展，不仅广泛地运用于物理、力学、大气、海洋等领域的数值计算，而且它的数值分析理论也不断地完善。 至今，谱方法已和有限差分法、有限元法一起成为偏微分方程数值求解的第三种基本方法。
谱方法起源于 Ritz-Galerkin 方法，它是以正交多项式 (三角多项式、Chebyshev 多项式、Legendre 多项式等，它们分别是正则和奇异 Sturm-Liouville 问题的谱函数) 作为基函数的 Galerkin 方法、Tau 方法或 Collocation 方法。 它们分别称为谱方法、Tau 方法或拟谱方 (配置法)，统称为谱方法。
谱方法的最大魅力是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方程的解无穷光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以 $N^{-1}$ 的任意幂次速度收敛于精确解，这里 $N$ 为所选取的基函数个数。 这一优点是有限差分法和有限元法无法比拟的，众多的实际应用和数值实例也证实了该方法的有效性。 因此，谱方法日益受到人们的重视。
谱方法与其他数值方法的区别
偏微分方程的数值方法可分为局部和全局两大类。有限差分法和有限元方法是局部方法，而谱方法是全局方法。事实上，有限元方法特别适合于解决复杂几何区域的问题，而谱方法具有更高的精度，却以区域灵活性为代价。许多数值方法，如 $hp$ 有限元方法和谱元方法，它们结合了全局和局部方法的优点。传统的谱方法指的是全局谱方法。
从微分方程数值格式的方面来说，谱方法属于加权余量法 (WRMs) 一类，传统上它被认为是许多数值方法的基础，例如有限元方法、谱方法、有限体积法、边界元法。WRMs 代表一类特殊的求解近似解的方法，其中误差以一定的方式最小化，这些特定的使最小化的方法，包括 Galerkin 方法、Petrov Galerkin 方法、Collocation 方法和 Tau 方法。
有限元适合解决复杂区域的问题, 差分法和谱方法适合解决规则区域的问题
总结
| 有限差分 and/or 有限元 | 谱方法 | |
|---|---|---|
| 基函数 (FEM, SM) | 局部的 | 全局的 |
| 收敛阶 | 低阶 | 高阶 |
| 提高精度 | 精细网格 | 增加基函数个数 |
| 计算效率 | 稀疏矩阵 | 稀疏仅对特定 PDE |
参考书籍
- Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications
- 谱方法的数值分析